maio 11, 2009

Os poderes da potência

Posted in Posts às 9:30 pm por Antonio

Para um bom reinício, fiquei com vontade de escrever um post relativo à matemática. Já que ninguém me ouve na vida real, talvez alguém “me leia” aqui. Ou talvez não.

Bem, o leitor deve estar se perguntando que droga de título é essa. Bem, a potência a que me refiro é aquele número que fica em cima de outro, sabe? Como 2^2 = 2 elevado a dois = 2 ao quadrado = 4.

NOTA: Devido a minha impotência (piadela) na formatação correta desses números, usarei A^B para A elevado a B.
NOTA 2: Se o leitor é impotente (piadela^2) na compreensão do texto até aqui, pode desistir de seguir adiante.

Na vida, estamos muito acostumados com coisas lineares. Embora a definição matemática para linear não seja bem essa que vou dizer, serve para os propósitos desse texto. Primeira uma noção intuitiva de algo linear. Pense em um bolo. Yummy. Agora pense no ato “fazer bolo”, pense na receita. Você precisa fazer um bolo. Para isso é fácil, basta seguir a receita. Tomemos um ingrediente, supondo, 100g de farinha. Para um bolo, usamos 100g de farinha. E se mandarem você fazer dois bolos? Sem problema, basta usar o dobro de farinha, ou seja, 200g, visto que você está fazendo o dobro da quantidade de bolos. Podemos dizer que a quantidade de farinha varia linearmente com a quantidade de bolos. Essa é uma boa regra prática para se determinar se algo é linear ou não em relação a uma coisa: se essa coisa dobra, o resultado tem que dobrar.

Terminando a parte intuitiva, vamos analisar de uma forma analítica. O leitor deve saber o que é uma função. Se não sabe, vai entender. Podemos escrever uma função matemática que nos forneça a quantidade de farinha em função da quantidade de bolos. Essa função, obviamente, é a seguinte:

f(n) = 100 * n

onde n = número de bolos >= 0, e o resultado é dado em gramas.

Você se lembra disso dos seus tempos de colégio? Ou está cansado de ver isso? Bem, seja lá qual for a situação, não se desespere que a parte interessante está por vir. Mas antes, a parte chata. Olhe a função, e confira. f(0), ou seja, a quantidade de farinha para fazer nenhum bolo, é 100 * 0 que é 0. Claro, se você não vai fazer um bolo, não precisa de farinha. f(1) é 100g, como estava na receita. f(2) é 200g, como já mencionado. E assim por diante. Dizemos que a quantidade de farinha é diretamente proporcional a quantidade de bolos.

O que faz isso ser linear? Simples. Observe atentamente a variável da função, ou seja, o n. É apenas n. Não é n^2, ou n^3. Quando o expoente do n é 1 (n^1 = n) dizemos que a função é linear.

Certo, todo esse lero-lero (termo tiozão número 1) e ainda não chegamos a lugar algum. As vezes, um exemplo do que não é nos explica muito melhor algo que é. Então vejamos um caso de algo não-linear. Imagine um terreno perfeitamente quadrado rodeado por cercas. A área desse quadrado pode ser expressa por:

A(x) = x^2

onde x (maior ou igual a zero) é o comprimento, em metros, do lado do quadrado. Vamos conferir um exemplo parecido com o do bolo. Esse seu terreno quadrado tem cada lado da cerca medindo 5 metros. Logo, a área do seu terreno é A(5) = 5^2 = 25 metros quadrados. Muito bem. Mas de repente, te avisam que você pode dobrar o tamanho do terreno. Será que poderíamos fazer como no caso do bolo? Dobrar o tamanho da cerca para dobrar a área do terreno? Vejamos. A cerca tinha 5 metros, dobramos e usamos uma cerca com cada lado de 10 metros. A(10) = 100 metros quadrados. Que não é o dobro da área anterior, mas quatro vezes maior. Essa função não é linear, essa é a razão da área não dobrar, percebe? E o que difere é a variável, que possui o “quadrado”, ou seja, tem expoente 2 ao invés de 1, como no caso do bolo.

Isso foi uma introdução, o texto real começa agora. O que virá seria a “parte legal” que mencionei anteriormente.

O fato interessante é que a mente das pessoas não funciona bem com coisas não-lineares, e coisas confusas podem acontecer. Mencionarei alguns fatos aleatórios sobre coisas não-lineares adiante, espero que você ainda tenha paciência de ler.

O primeiro exemplo trata-se de uma freada de carro. Como passageiro no banco da frente em um veículo, você já deve ter ficado confuso durante uma freada em um semáforo. Se você reparar, no início da freada, não parece que o carro vai parar no lugar certo, temos a impressão de que ele vai passar do semáforo. O mesmo efeito pode ser obtido quando você espera o ônibus e ele pára para o embarque dos passageiros. Não dá impressão de que ele não vai parar no lugar certo? A razão disso é simples. Suponha que o motorista freie com a mesma intensidade durante toda a parada, ou seja, a força, e constantemente a aceleração do carro ou ônibus é constante. Se você for fuçar (lembrei de porcos agora…) no seu material de física, verá que na equação da posição em função do tempo para “movimento uniformemente acelerado” (nesse caso, desacelerado) a variável “tempo” é quadrática, ou seja, possui expoente 2. Essa é a razão para a confusão, você, em geral, pensa nas coisas linearmente, mas nesse caso temos algo não diretamente proporcional.

Um outro exemplo, ainda falando sobre veículos, é uma curva fechada. Você sente uma sensação de ser jogado para o lado oposto da curva. Isso advém da força centrípeta, ou seja, da força causada pelo atrito que te faz ficar na curva ao invés de sair pela tangente (literalmente). Bem, em uma curva, os motoristas deveriam se preocupar muito mais com a velocidade do veículo do que com o raio da curva. A razão disso, é que a força centrípeta é inversamente proporcional ao raio, ou seja, se o raio da curva cai pela metade, a força centrípeta dobra. Até aí tudo bem. Mas ela é proporcional ao quadrado da velocidade. Ou seja, dobrar a velocidade em uma curva faz com que a força seja aumentada em quatro vezes.

Agora o exemplo que mais gosto, o exemplo do gigante. Nele, há a argumentação necessária para concluir que a existência de um gigante é pouco provável.

Era um vez uma pessoa chamada, sem nenhuma razão extra além de simples facilidade de referência, Pedrinho. Pedrinho tem 2m de altura e 80kg. Vamos supor que um gigante 10 vezes maior possa existir. O nome desse gigante é, novamente sem nenhuma razão extra além de simples facilidade de referência, Pedrão. Pedrão é 10 vezes maior, portanto possui 20 metros de altura. Quanto pesa Pedrão? 10 vezes 80kg = 800kg, certo? Errado. O peso de uma pessoa está relacionado com o volume dessa pessoa. O volume é relacionado com as dimensões ao cubo (expoente 3). Logo, assumindo que Pedrão mantém as mesmas proporções que Pedrinho, Pedrão tem 10^3 = 1000 vezes mais volume. Concluímos então que Pedrão tem 80 toneladas (80000kg), e não 800kg como erroneamente suposto.

Abro um parênteses para esclarecer que todas as conclusões que cheguei aqui não tem o mínimo de rigor matemático. No entanto, acredito que elas estão corretas. Mas claro, eu não botaria a mão do fogo por elas (tiozão counter = 2).

Voltando ao assunto. Alguns poderiam alegar que, assim como o peso do gigante, a resistência de suas pernas também foi aumentada. Isso é coerente, e verdade. Bom argumento. No entanto, quão maior ela ficou? Antes de responder essa pergunta, devemos conhecer o que realmente faz diferença.

Pedrinho, de 80kg, fica de pé. Se deixarmos ele duas horas de pé, ele ficará cansado. Pedrinho fica deitado no chão. Se deixarmos ele lá por dez horas ele não ficará cansado. Mas Pedrinho ainda tem 80kg, seja de pé, seja deitado. Qual a diferença? O que realmente importa é a pressão, e não a força peso. A pressão é algo que está relacionado com a força e com o inverso área. Tomemos por exemplo o joelho do Pedrinho. Cortemos (mentalmente, para evitar carnificina desnecessária) suas pernas e olhemos seus joelhos de cima. Todo o peso do Pedrinho está distribuído na pequena área de seus joelhos, logo, a pressão exercida pelo seu peso é grande. Agora quando ele deita, a área aumenta em muito. Se a área aumentar 10x (estimativa, a.k.a. chute), a pressão exercida nas partes do seu corpo apoiadas no chão diminuirá 10x (novamente, isso é uma aproximação grosseira). Uma pressão mais baixa para o mesmo peso indica que o peso está distribuído em uma área maior.

Pense em uma faca. Você faz uma “forcinha”, e consegue cortar coisas. Isso acontece pois a área da faca é minúscula (se ela estiver afiada), então uma força pequena causa uma pressão gigante, rompendo o material.

Mas… pra que tanta balela (tiozão combo: 3)? Bem, o peso do Pedrinho e do Pedrão são fixos. Logo, o que determina a pressão sobre suas pernas é justamente a área da seção transversal delas. Você se lembra do exemplo do terreno quadrado envolvido pelas cercas? Nele, observamos que a área tem relação com o quadrado (potência 2) das dimensões lineares. Logo, se o Pedrão mantém as mesmas proporções do Pedrinho, a área da seção transversal dos seus joelhos é 10^2 = 100 vezes maior.

O resultado de toda essa análise é que o Pedrão tem 1000 vezes mais massa que o Pedrinho e 100 vezes mais “área de sustentação” em seus joelhos. Logo, os joelhos de Pedrão suportam uma pressão 10 vezes maior que Pedrinho. Afirmar que Pedrão consegue viver e se manter de pé é o mesmo que afirmar que Pedrinho pode viver com 10 vezes mais pressão sobre seus joelhos. Seria algo como colocar 720kg (800kg – 80kg) nas costas do Pedrinho e pedir para ele sair andando por aí. Aposto que seus joelhos não agüentariam a compressão, e duvido que seus músculos seriam fortes o suficiente para levá-lo em sua caminhada.

Nesse aspecto, concluímos que a existência de Pedrão como uma cópia maior do Pedrinho, ou seja, a existência de um gigante como simples cópia de um humano, é impossível.

Legal, certo? Bem, sua satisfação em ler esse texto é diretamente proporcional ao seu QI, então tire suas próprias conclusões.

Que Deus abençoe a todos.

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